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[Mathe] schwere Aufgabe

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scr!pTk!d

Member

Dabei seit: 10.11.2002
Beiträge: 276

[Mathe] schwere Aufgabe

unser mathelehrer hat uns eine aufgabe für, so wörtlich einser-schüler gestellt.

Zitat:

Man beweise, dass die Anzahl der Positiven Teiler jeder Quadratzahl ungerade ist.

vielleicht findet ja jemand spass daran an dieser aufgabe zu knobeln. ich bin an ihr gescheitert

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ceterum censeo carthaginem esse delendam

13.02.2003 21:45

Rabenicht

Aufsteiger

Dabei seit: 18.01.2003
Beiträge: 84
Herkunft: Fehler in Zeile 23

STRRRRIKE!
Heute ist ein guter Tag zum Googlen:
Mein erster Gedanke war: Igitt, den Satz kann ich ja nicht mal in "mathematisch" also per Formelzeichen niederschreiben. Dann dachte ich mir: Vielleicht ist das auch gar nicht nötig - wie wäre es mit vollständiger Induktion? Nach zwei Rechenversuchen hatte ich zwar keine Lust mehr - aber Google gab mir recht: Es geht mit Induktion. Mir persönlich reicht das als Erfolgserlebnis, die Lösung ist jetzt ja nur noch ein "Detail"

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java.sql.SQLException: [Micro$oft][ODBC Micro$oft Access Driver] Data type mismatch in criteria expression or general fuck off.

13.02.2003 21:57

Black Star

Der Pate [Admin]

Dabei seit: 11.12.2001
Beiträge: 2.282
Herkunft: /dev/stderr

rabenicht - ich hab selbst überlegt - hat einen werbeblock gedauert - die lösung folgt.
erklärung dauert ein wenig...

EDIT:
also:
jede quadratzahl q besteht aus dem produkt zweier natürlicher zahlen n (wie gestochen ich mich schon ausdrücken kann

)

d.h. q = n*n
so - jetzt hat dieses n eine zerlegung in seine teiler - gerade oder ungerade ist egal.
diese bezeichne ich mit n[sub]1[/sub], n[sub]2[/sub],.....,n[sub]n[/sub].
zur verdeutlichung kann man die zerlegungen untereinander-schreiben:
n --- n
n[sub]1[/sub] - n[sub]1[/sub]
n[sub]2[/sub] - n[sub]2[/sub]
...
n[sub]n[/sub] - n[sub]n[/sub]

jetzt ist jede kombination aus der ersten spalte mal der zweiten spalte ein teiler von q. n[sub]1[/sub]*n[sub]5[/sub] beispielsweise.
jeder dieser teiler kommt aber zweimal vor. n[sub]1[/sub]*n[sub]5[/sub] und n[sub]5[/sub]*n[sub]1[/sub]
man kann jetzt eine matrix aufstellen.
n[sub]1[/sub]*n[sub]1[/sub] n[sub]1[/sub]*n[sub]2[/sub] n[sub]1[/sub]*n[sub]3[/sub] ... n[sub]1[/sub]*n[sub]n[/sub]
n[sub]2[/sub]*n[sub]1[/sub] n[sub]2[/sub]*n[sub]2[/sub] n[sub]2[/sub]*n[sub]3[/sub] ... n[sub]2[/sub]*n[sub]n[/sub]
n[sub]3[/sub]*n[sub]1[/sub] n[sub]3[/sub]*n[sub]2[/sub] n[sub]3[/sub]*n[sub]3[/sub] ... n[sub]3[/sub]*n[sub]n[/sub]
.....
n[sub]n[/sub]*n[sub]1[/sub] n[sub]n[/sub]*n[sub]2[/sub] n[sub]n[/sub]*n[sub]3[/sub] ... n[sub]n[/sub]*n[sub]n[/sub]

jetzt muss man nurnoch gleiche elemente kicken, und zeigen, dass die anzahl der verbleibenden elemente ungerade ist.
und da liegt noch ein denkfehler bei mir - ich arbeite dran.....

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vescere bracis meis

Dieser Beitrag wurde 1 mal editiert, zum letzten Mal von Black Star: 13.02.2003 22:40.

13.02.2003 22:25

Antion

Member

Dabei seit: 21.10.2002
Beiträge: 216
Herkunft: Schweiz

Hier die Komplettlösung.

Mit google 1 min.

http://www.mathematik-online.de/F107.htm

Gruss an den Lehrer

Antion

__________________
Wie mal Sokrates gesagt hat, ich weiss, dass ich nichts weiss.

13.02.2003 22:58

Black Star

Der Pate [Admin]

Dabei seit: 11.12.2001
Beiträge: 2.282
Herkunft: /dev/stderr

die erklärung ist ziemlich unvollständig und schwer nachvollziehbar.
ich bleibe lieber bei meinen überlegungen.

von der o.g. matrix zählen schonmal die obere zeile und die rechte spalte.
also m=2n+1 (ungerade).
jetzt muss man nur noch zeigen, dass die zahl der verbleibenden elemente gerade ist.

EDIT ich bin müde und hab keinen bock mehr.
die konsequenz aus meiner matrix-geschichte ist diese primfaktorzerlegungssache.

__________________

vescere bracis meis

Dieser Beitrag wurde 1 mal editiert, zum letzten Mal von Black Star: 13.02.2003 23:16.

13.02.2003 23:11

El Comandante en Jefe

Dabei seit: 25.11.2001
Beiträge: 5.372
Herkunft: Berliner Bronx

Mmmh, ob das als "Beweis" durchgeht, weiß ich nicht. Aber meine Überlegungen gehen dahin:

Wie Black Star bereits sagte ist q ja das Produkt von n mit n.

Nun ist es ja logisch, dass man eine Zahl kleiner als n mit einer Zahl größer als n multiplizieren muss, um auf q zu kommen. Für jeden Teiler von q kleiner als n existiert also ein Multiplikator, der größer als n sein muss. Unabhängig von der Anzahl der Faktoren ist deren Summe aber immer gerade, da es sich ja um Paare handelt (2*x). Hinzu kommt dann n selbst, das man ja mit sich selbst multiplizieren muss. Und 2*x + 1 ergibt bekanntlichermaßen eine ungerade Zahl.

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13.02.2003 23:30

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