 Lineare Algebra I (Mengenlehre) Aufgaben |
CDW 
eine Simulation
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| Lineare Algebra I (Mengenlehre) Aufgaben |
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mal vorweg: es geht mir darum, ob ich das selber richtig verstanden habe bzw, einen richtigen Ansatz gefunden habe (was ich natürlich hoffe 
)
Ich wäre also sehr dankbar, wenn jemand etwas Zeit hat, kurz drüber zu schauen und eventuell auf die Fehler hinzuweisen. Wobei imho es hier nur zwei Extreme geben kann (entweder richtig oder komplett daneben 
)
Ich habe von jeder Übung jeweils eine Aufgabe gelöst:
/\ = geschnitten
\/ =vermengt
€=Element
| Zitat: |
Aufgabe:
1. Zeigen Sie, dass für Mengen A,B,C,D gilt:
(AxB) /\ (CxD)=(A /\ C)x(B /\ D)
mein Ansatz:
(AxB)={(a,b)|a € A,b € B}
(CxD)={(c €C,d € D}
(AxB)/\(CxD) ={(x,y) € AxB \/ CxD | (x,y) € AxB und (x,y) € (CxD)}
=> (x,y) € AxB={x € A, y € B}
(x,y) € CxD={x € C,y €D}
Und jetzt die andere Seite:
(A/\C)x(B/\D)= {(x,y)€ (A /\ C)x(B /\ D) | x € (A /\ C) und x € (B /\ D) }
=> für x € A /\C gilt damit:
{x € (A \/ C) | x € A und x € C }
für y € (B /\ D) gilt:
{y € (B \/ D)| y € B und y € D }
Da Extensionalitätsaxiom damit erfüllt ist, sind beide Ausdrücke gleich.
Aufgabe:
III) Sind A und B nicht leer, so gilt:
AxB Teilmenge CxD => A Teilmenge C und B Teilmenge D
(statt Teilmenge schreibe ich mal c ) also:
AxB c CxD => AcC und BcD
Was passiert, wenn A oder B leer sind?
mein Ansatz:
Angenommen A=% (Leere Menge)
AxB = { (%,b) % € A, b € B)
da aber A=% und damit (% kein Element %) => wiederspruch
Aufgabe (hier bin ich mir sehr unsicher, wegen meiner Lösungsweise):
Zeigen Sie die folgenden Gleichheiten (Distributivität):
A /\ (B\/ C) = (A /\ B) \/ (A /\ C)
Beweis:
A /\ (B \/ C)= {x € A \/ (B \/ C) | x € A und (x € B oder x € C) }
*(x € B oder x € C) wegen B \/C was ja x € B oder x € C heißen soll *
(A /\ B) \/ (A /\ C) = {x | x € (A /\ B) \/ (A /\ C) => (x € A und x € B) oder (x € A und x € C)
Aufgabe:
Man zeige, dass für Mengen A,B und C gilt:
A /\ (B\C)= (A /\ B) \ (A /\ C)
Ansatz:
A /\ (B\C)= { x € A \/ (B \ C) | x € A und x € B (dabei x kein € C )}
(A /\ B) \ (A /\ C) = { x € (A \/ B ) | x kein € ( A /\ C)}
also:
x € A /\ B = { x € A \/ B | x € A und x € B }
x kein € ( A /\ C) = { x kein € A \/ C | x kein € A und x kein € C }
hier fehlt doch was, oder nicht?
Aufgabe:
II:
(A /\ B) \/ C=A /\ (B \/ C) gilt genau dann, wen C Teilmenge (c) A
Ansatz:
(A /\ B) \/
<=>(A \/ C) /\ (B \/ C) = {x € (A \/ C) \/ (B \/ C ) | (x € A oder x € C) und (x € B oder x € C)
A /\ (B \/ C) = { x € A \/ (B \/ C) | x € A und (x € B oder x € C) }
Fallunterscheidung:
C keine Teilmenge von A:
(x € A oder x € C) und gleichzeitig (x € B oder x € C)
ist also x € A, kann x nicht mehr x € C sein
bei dem anderen Term:
x € A, kann es auch kein x € C sein, da ja C keine Teilmenge von A ist.
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23.10.2005 14:00 |
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Stereotyp
LX' Ex-Mitbewohner
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Herkunft: Made in Mamas Bauch
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Es könnte sein, dass der Restalkohol von gestern Abend mein Hirn vernebelt, aber ich verstehe deine Beweisstruktur nicht (hab nur die 1. Aufgabe angeguckt). Offensichtlich willst du die Tautologie:
A => B ^ B => A <=> A <=> B
nutzen, aber irgendwas stimmt da so nicht (oder ich verstehe es nicht)
__________________
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23.10.2005 17:24 |
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CDW
eine Simulation
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Themenstarter 
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| Zitat: |
| aber irgendwas stimmt da so nicht (oder ich verstehe es nicht) |
hm, ich wollte nur zeigen, dass die beiden Seiten dieselben Elemente haben.
durch die "geschickte" Umstellung komme ich zur Aussage:
(x,y) € AxB={x € A, y € B}
(x,y) € CxD={x € C,y €D}
Auf einer Seite
und eben
für x € A^C gilt damit:
{x € (A v C) | x € A und x € C }
für y € (B ^ D) gilt:
{y € (B^D)| y € B und y € D }
für die andere Seite.
Ich habe sonst ehrlich gesagt keine Ahnung, wie ich es machen soll. Ich hatte zwar Mathe LK, das ist aber schon lange her, und ich bin mir relativ sicher, dass wir sowas nicht mal gestreift haben.
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23.10.2005 17:36 |
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Compuholic
knows where he wants to go tomorrow
Dabei seit: 19.10.2002
Beiträge: 819
Herkunft: München
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Ich hab da gerade auch ein Problem mit Abbildungen von Mengen:
Ich habe hier eine Aufgabe:
Seien f: X --> Y und g: Y --> Z zwei Abbildungen. Welche der folgenden Aussagen sind richtig? Geben sie jeweils ein Gegenbeispiel oder eine Beweis an.
- Ist g°f injektiv, so ist g injektiv. (ok diese Aussage ist logisch. Aber wie packe ich den Beweis an?)
- Ist g°f surjektiv, so ist g surjektiv (Bin mir nicht ganz sicher, aber ich denke, daß diese Aussage stimmt, weil ja der Wertebereich zu einem großen Teil mitbestimmt, ob die Funktion surjektiv ist. Und die einzige Funktion die was mit dem Wertebereich von g°f zu tun hat ist g).
- Ist g surjektiv und f injektiv, so ist g°f bijektiv (Kann nicht sein, denn wenn g nicht injektiv ist, ist die ganze Abbildung nicht injektiv und damit auch nicht bijektiv. Leider fällt mir kein Beispiel ein)
- Sind g und f injektiv, so ist g°f injektiv (Klar, aber der Beweis...)
- Sind g und f surjektiv, so ist g°f surjektiv (Da bin ich mir wieder nicht sicher)
Wie ihr seht, habe ich keine Ahnung, wie ich einen Beweis anpacken würde. Außerdem habe ich ein paar Probleme Gegenbeispiele zu finden. Dazu habe ich aber auch noch eine Frage, ob Folgendes funktioniert. Das würde mir die Sache etwas leichter machen.
Ist das hier eine zulässige Abbildung R-->R+ x-->x Dann hätte ich für alle negativen x ein Problem, weil sie nicht in meinem Wertebereich liegen.
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20.11.2005 17:18 |
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CDW
eine Simulation
Dabei seit: 12.10.2002
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Themenstarter
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hm, ich habe so eine ähnliche Aufgabe auf dem Übungsblatt gehabt (aber noch nicht zurückbekommen - also mit vorsicht zu genießen).
a) g°f injektiv, heißt dann: g(f(x))=g(y)=z und dabei wird kein z Element Z "zweimal getroffen" - also g°f (x) = g°f(x') wenn x=x'. Man nehme an, g sei nicht injektiv, desweiteren f(x)=y und f(x')=y', dann wäre ja g(y)=z und g(y')=z möglich. Es würde dann damit gelten: g°f (x)=z und g°f(x') =z , damit wäre g°f nicht injektiv. (ok, lässt sich bestimmt schöner schreiben)
b)g°f ist surjektiv heißt : zu jedem z € Z gibt es ein x mit g°f(x) =z
ok, nehmen wir an, g wäre nicht surjektiv: also gäbe es ein z € Z und ein y mit g(y)!=z. So, wenn jetzt f(x) dem y ein x zuordnet und dieses y liegt in dem "toten" Bereich dann kommt x gar nicht "durch".
c) Beispiel: sei x € X und z € Z, nach definition muss jedes z von einem x "getroffen" werden und darf dazu nicht "zweimal getroffen" werden.
Also: f(x)=y mit f(x)=f(x') wenn x'=x und g(y)=z (für jedes z gibt es ein y mit g(y)=z). Wähle x,x' € X so, dass f(x)=y, f(x')=y' und x!=x' (so dass f(x)!=f(x'). Da g surjektiv ist, gibt es für jedes z ein y mit g(y)=z. Soweit kein Problem. Aber da g nicht injektiv ist, kann g(y) =g(y')=z sein. Damit würden x und x' "nur einem" z zugeordnet und das entspricht nicht der Definition.
d)Wenn g°f injektiv: zu einem z € Z gibt es ein x,x' mit x=x' und g°f (x)=g°f (x')
Wähle ein x=x' € X mit f(x)=y=y'=f('x) (injektivität), da g injektiv: g(y)=g(y')=z=z' (injektivität). Also wird ein x einem z zugeordnet:
x->z mit g°f : g(f(x))=g(f(x'))=g(y)=g(y')=z=z'
Hier kann man noch einen wiederspruchsbeweis einlegen: sei g/(oder f, je nach belieben, ich nehme mal g) nicht injektiv, so gilt auch g(y)=g(y') mit y!=y' =>z=z', da f(x)!=f(x')=y!=y' für x!=x' € X , aber wenn g nicht injektiv, gilt auch g(y)=g(y') für y!=y' und damit auch für g(f(x))=g(f(x'))=>z=z' für x!=x', also kann dann ein x einem z "mehrmals" zugeordnet werden.
e) f surjektiv: zu jedem y € Y gibt es ein x € X mit f(x)=y
g surjektiv: zu jedem z € Z gibt es ein y €Y mit g(y)=z
Angenommen g°f wäre nicht surjektiv, obwohl g, f surjektiv sind, damit würde es nicht zu jedem z ein x geben mit g(f(x))=z. Also g(f(x))!=z
Man nehme ein beliebiges y aus Y, da f surjektiv, gibt es zu jedem y ein x aus X mit f(x)=y, jetzt nehme man ein beliebiges z aus Z, da g surjektiv, gibt es zu jedem z ein y aus Y mit g(y)=z. Also g(y)=z und für alle z gibt es ein y aus Y, da y=f(x) (und für jedes y gibt es ein x aus X) => g(f(x))=z, für jedes z gibt es ein y aka f(x)=y aka zu jedem y existiert ein x => zu jedem z existiert ein x mit mit g(f(x))=z => also g(f(x)) surjektiv=> g°f surjektiv
Wie erwähnt, mit Vorsicht begutachten
, aber vielleicht ist ja ein Ansatz dabei.
*me ist ein armer Ersti Informatiker, der sich zusammen mit den Physikern und Mathematikern LA antung muss*
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20.11.2005 23:30 |
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