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Geschrieben von grandmaster S am 06.02.2006 um 17:11:

  Analytische Geometerie Kugel

Ist die letzte Teilaufgabe. Den Rest hab ich schon.

d) Die Kugel k hat den Mittelpunkt M(3|4|-2) und den Radius sqrt(29). Die Berührpunkte der Tangenten von S(3|-3|2) an K bilden einen Kreis k. In welchen Punkten schneidet k die x1x2-Ebene?

Hier stehe ich grad aufm Schlauch. Wenn mir jemand hier helfen könnte, wäre ich sehr dankbar.
Meine Ansätze haben zu keiner Lösung geführt. Ich hab über Kathensatz Längenbestimmungen vorgenommen. Doch das führt nicht zu einem Ergebnis.
Vielen Dank schonmal im voraus.

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Geschrieben von Stereotyp am 06.02.2006 um 18:55:

 

So wie ich das sehe, musst du ein Gleichungssystem aufstellen. Du hast die Kugelgleichung gegeben und du weißt, dass die Tangenten einen Kegel bilden. Zu guter letzt weißt du auch, dass die Punkte in der x1-x2 Ebene liegen.
Die gesuchten Punkte müssen alle drei Bedingungen gleichzeitig erfüllen.

Schwierig dürfte die Kegelgleichung werden... bin schon zu lange aus dem Stoff raus, als dass ich da genauere Angaben machen könnte.

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Geschrieben von COCYHOK am 11.02.2006 um 00:15:

 

Wenn ich die Aufgabe richtig verstanden hab, brauchst du die Sache mit den Tangenten doch gar nicht. Durch den Mittelpunkt und Radius ist die Kugel eindeutig bestimmt. Das heißt, du kannst unter anderem den Schnittkreis mit der Ebene berechnen. Dazu würde ich die Kugel von der Seite projizieren, um so einen Kreis zu erhalten (Begriffsbestimmung: x_1 geht nach rechts, x_2 nach hinten und x_3 nach oben; von der Seite projizieren heißt, dass x_2 irrelevant ist und ein x_1-x_3-Koordinatensystem entsteht).
Dann hast du die Kreisformel: (x—x_0)²+(y—y_0)²=r²; also (x_1—x_0;1)²+(x_3—x_0;3)²=r²; also (x_1—9)²+(x_3+2)²=29
Das setzt du dann mit der x_1-x_2-Ebene gleich, die hier durch die Funktion x_3(x_1)=0 repräsentiert wird – auf deutsch: Du bestimmst die Nullstellen des Kreises:
(x_1—9)²+(x_3+2)²=29
(x_1—9)²+(0+2)²=29
(x_1—9)²+4=29
(x_1—9)²=25
x_1=25^0,5+9
x_1;1=5+9=14
x_1;2=—5+9=4

Fazit: Von vorne betrachtet schneidet die Kugel die Ebene zwischen den x_1-Werten 4 und 14.

Um nun den endgültigen Kreis zu berechnen, guckst du dir das Ganze von oben an (x_1-x_2-Koordinatensystem): Der Mittelpunkt des Kreises liegt senkrecht über dem Mittelpunkt der Kugel – also bei (3;4). Der Radius beträgt 14—4=10. Also: (x_1—3)²+(x_2—4)²=10^0,5. Das musst du jetzt vielleicht noch dreidimensional ausdrücken. Vielleicht aber auch nicht. Dass die Punkte alle in der x_1-x_2-Ebene liegen sollen, ist ja vorgegeben. x_3 ist also 0.